Η άσκηση της Ημέρας, Άλγεβρα Β λυκείου

Άσκηση της Ημέρας, Άλγεβρα Β λυκείου.

Μια άσκηση που "σκάρωσα" για την άλγεβρα της Β λυκείου. 

A) Δίνονται οι συναρτήσεις $f,g$ με τύπους $g\left(x \right)=e^{x}-x-1$ με $g\left(x \right)\geq 0$ για κάθε $x\varepsilon R$, και $f\left(x \right)=ln\left(e^{x}-x \right)$. 

i) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης $f$ 

ii) Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της $f$ 

iii) Να δείξετε ότι ισχύει $\frac{1}{e^{x^{2}}}\geq 1-x^{2}$ για κάθε $x\epsilon R$ 

iv) Να δείξετε ότι $lnx\leq x-1$ για κάθε $x>0$. Πότε ισχύει η ισότητα;  

B) Δίνεται η συνάρτηση $h$ με τύπο $h\left(x \right)=lnx-x+1$ 

i) Να δείξετε ότι $h\left(\frac{1}{x} \right)+h\left(x \right)=-\frac{\left(x-1 \right)^{2}}{x},x>0$ 

ii) Να λυθεί η εξίσωση $h\left(x \right)=-x+1-ln^{3}x$

Ο χώρος αυτός φιλοξενεί και τις δικές σας εμπνεύσεις. Απλά στείλτε μου την άσκηση σας...