Μια ακόμα δική μου άσκηση για τα μαθηματικά Γενικής παιδείας.
Δίνεται η συνεχής συνάρτηση στο R με $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} g\left(x \right)=2}$ και η συνάρτηση $f(x)=e^{x^{g\left(0 \right)}}$
A) Να αποδείξετε ότι:
$f'(x)=2xf\left(x \right)$ και $f''\left(x \right)=2f\left(x \right)\left(2x^{2}+1 \right)$
B) 1) Να δείξετε ότι $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to g\left(0 \right)} \frac{lnf\left(x \right)-\frac{f'\left(x \right)}{f\left(x \right)}}{x-g\left(0 \right)}}=\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} g\left(x \right)}$
2) Να υπολογίσετε τα όρια i) $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left|\frac{f\left(x \right)-g\left(x \right)}{g^{2}\left(x \right)} \right|}$,ii) $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{2}} \frac{f\left(x \right)-f'(x)}{x-\frac{1}{2}}}$ iii) $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{3}{2}}\frac{\frac{f''\left(x \right)}{f\left(x \right)}-11}{2x-3} }$ iv) $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{f\left(x \right)-1}{\sqrt{f\left(x \right)}-1}}$
Γ) Να δείξετε ότι η εξίσωση εφαπτομένης της f στο σημείο $\left( x_{0},f\left(x_{0} \right)\right)$ είναι της μορφής $y=e^{x^{2}_{0}}\cdot 2x_{0}\cdot x+e^{x^{2}_{0}}-e^{x^{2}_{0}}\cdot2\cdot x_{0}^{2}$. Σε ποια σημεία οι εφαπτομένες αυτές διέρχονται απο την αρχή των αξόνων;
Δ) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα την συνάρτηση $f$ και να αποδείξετε ότι ο ρυθμός μεταβολής της αυξάνει για κάθε $x\epsilon R$.
B) 1) Να δείξετε ότι $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to g\left(0 \right)} \frac{lnf\left(x \right)-\frac{f'\left(x \right)}{f\left(x \right)}}{x-g\left(0 \right)}}=\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} g\left(x \right)}$
2) Να υπολογίσετε τα όρια i) $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left|\frac{f\left(x \right)-g\left(x \right)}{g^{2}\left(x \right)} \right|}$,ii) $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{2}} \frac{f\left(x \right)-f'(x)}{x-\frac{1}{2}}}$ iii) $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{3}{2}}\frac{\frac{f''\left(x \right)}{f\left(x \right)}-11}{2x-3} }$ iv) $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{f\left(x \right)-1}{\sqrt{f\left(x \right)}-1}}$
Γ) Να δείξετε ότι η εξίσωση εφαπτομένης της f στο σημείο $\left( x_{0},f\left(x_{0} \right)\right)$ είναι της μορφής $y=e^{x^{2}_{0}}\cdot 2x_{0}\cdot x+e^{x^{2}_{0}}-e^{x^{2}_{0}}\cdot2\cdot x_{0}^{2}$. Σε ποια σημεία οι εφαπτομένες αυτές διέρχονται απο την αρχή των αξόνων;
Δ) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα την συνάρτηση $f$ και να αποδείξετε ότι ο ρυθμός μεταβολής της αυξάνει για κάθε $x\epsilon R$.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου