Άσκηση στη Γεωμετρία Α λυκείου

Πιο διδακτική δε γίνεται....Το παλαιοπωλείο σας προσφέρει μια άσκηση στη Γεωμετρία της Α λυκείου. Σκοπός της άσκησης είναι η εξοικείωση των μαθητών στη χρήση της βοηθητικής γραμμής. Προτάθηκε και επιμελήθηκε στο mathematica.gr από το συνάδελφο Γιώργο Καλαθάκη.

Διάβασε περισσότερα...

Η άσκηση της Ημέρας, Κατεύθυνση Γ'

Λίγο πριν τις εξετάσεις η άσκηση της Ημέρας περιλαμβάνει λίγο από "όλα" στη μελέτη συνάρτησης για τους μαθητές της Γ λυκείου στα μαθηματικά κατεύθυνσης. Μια συνεργασία  με τον εκλεκτό συνάδελφο Μπάμπη Στεργίου τον οποίο και ευχαριστώ θερμά. 

Παρατήρηση: Τα σύμβολα στους πίνακες σε μένα τουλάχιστον δείχνουν "παραμορφωμένα". Όταν όμως κατεβάσετε το αρχείο δείχνουν μια χαρά! Παρακαλώ να με ενημερώσετε για οποιοδήποτε πρόβλημα παρουσιαστεί.

Διάβασε περισσότερα...

Η άσκηση της Ημέρας, Β γυμνασίου

Μια άσκηση μέσα από την τάξη του 6ου γυμνασίου Χαλκίδας.

Διάβασε περισσότερα...

Η άσκηση της Ημέρας, Γεωμετρία

Ένα σχετικά γνωστό πρόβλημα το οποίο όμως δυσκολεύει. Προτείνεται για μαθητές με απαιτήσεις.  Γενικά θα το πρότεινα ώστε να δει ο μαθητής το μεγαλείο της Γεωμετρίας όσον αφορά τη ποικιλία των λύσεων και όχι να δοθεί ως προς λύση στους μαθητές.

Δίνεται ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ και γωνία ΒΑΓ = 20^ο. Θεωρούμε σημείο Δ στην πλευρά ΑΓ ώστε γωνία ΔΒΓ = 60^ο και σημείο Ε στην πλευρά ΑΒ ώστε γωνία         ΕΓΒ = 50^ο. Να βρεθεί η γωνία ΕΔΒ.

Με αφορμή το πρόβλημα αυτό παραθέτουμε μια πολύ ενδιαφέρουσα εργασία από τον Διδάκτορα Μαθηματικό Ανδρέα Πούλο, ο οποίος περιγράφει το ενδιαφέρον του προβλήματος και προτείνει 9 λύσεις.

Όποιος θέλει περισσότερες πληροφορίες για τον κ. Πούλο Εδώ

Διάβασε περισσότερα...

Η άσκηση της Ημέρας, Β γυμνασίου

Έστω δύο ομόκεντροι κύκλοι με κέντρο Ο και με διαμέτρους ΑΒ, ΕΔ. Αν ΑΓ=8, ΒΓ=6 και ΒΔ=3, να υπολογίσετε:

Α) Τις ακτίνες των δύο κύκλων.

Β) Τα μήκη των δύο κύκλων.

Γ) Τα εμβαδά των δύο κύκλων.

Δ) Την περίμετρο του τριγώνου ΑΒΓ.

Ε) Το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ.

ΣΤ) Τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των γωνιών Α και Β. Τι παρατηρείτε;

Ζ) Το εμβαδόν της γαλάζιας επιφάνειας.

H) Το μήκος της διαδρομής "ΕΑΓΒΔΕ".

Διάβασε περισσότερα...

Η άσκηση της Ημέρας, Άλγεβρα

Διάβασε περισσότερα...

Η άσκηση της Ημέρας, Χρόνια πολλά

Αν Β,Ζ,Η,Γ συνευθειακά σημεία και ΑΒ=ΑΓ, ΖΔ//ΑΒ, ΔΕ//ΒΓ, α) να υπολογίσετε τις γωνίες του χριστουγεννιάτικου δέντρου και β) να δείξετε ότι ΕΗ//ΑΓ

 

Διάβασε περισσότερα...

Η άσκηση της Ημέρας, Γενικής Γ λυκείου

Μια ακόμα δική μου άσκηση για τα μαθηματικά Γενικής παιδείας.              

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση στο R με $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}  g\left(x \right)=2}$ και η συνάρτηση $f(x)=e^{x^{g\left(0 \right)}}$

A) Να αποδείξετε ότι:

$f'(x)=2xf\left(x \right)$ και $f''\left(x \right)=2f\left(x \right)\left(2x^{2}+1 \right)$

B) 1) Να δείξετε ότι $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to g\left(0 \right)} \frac{lnf\left(x \right)-\frac{f'\left(x \right)}{f\left(x \right)}}{x-g\left(0 \right)}}=\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}  g\left(x \right)}$

2) Να υπολογίσετε τα όρια i) $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left|\frac{f\left(x \right)-g\left(x \right)}{g^{2}\left(x \right)} \right|}$,ii) $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{2}} \frac{f\left(x \right)-f'(x)}{x-\frac{1}{2}}}$  iii) $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{3}{2}}\frac{\frac{f''\left(x \right)}{f\left(x \right)}-11}{2x-3} }$ iv) $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{f\left(x \right)-1}{\sqrt{f\left(x \right)}-1}}$

Γ) Να δείξετε ότι η εξίσωση εφαπτομένης της f στο σημείο $\left( x_{0},f\left(x_{0} \right)\right)$ είναι της μορφής  $y=e^{x^{2}_{0}}\cdot 2x_{0}\cdot x+e^{x^{2}_{0}}-e^{x^{2}_{0}}\cdot2\cdot x_{0}^{2}$. Σε ποια σημεία οι εφαπτομένες αυτές διέρχονται απο την αρχή των αξόνων;

Δ)  Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα την συνάρτηση $f$ και να αποδείξετε ότι ο ρυθμός μεταβολής της αυξάνει για κάθε $x\epsilon R$.

Διάβασε περισσότερα...

Γραφικές παραστάσεις (Δεύτερη άσκηση)

Συνεχίζουμε με άλλη μία άσκηση στις γραφικές παραστάσεις. Η πρώτη βρίσκεται εδώ.

Διάβασε περισσότερα...

Η άσκηση της Ημέρας, Γ λυκείου Γενικής, Κατεύθυνσης

Μια άσκηση δικής μου κατασκευής για τα μαθηματικά Γ λυκείου, είτε γενικής είτε κατεύθυνσης.              
                               

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=e^x-kx $,  $k \epsilon [0,e]$

Α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης.

Β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.

Γ) Να αποδείξετε ότι  $f(x)\ge ln1$για κάθε $x \epsilon R$

Διάβασε περισσότερα...

Η άσκηση της Ημέρας, Γεωμετρία Α λυκείου

Άλλη μια καινούργια πρόκληση βάζω το σχήμα βάλτε την άσκηση!

Διάβασε περισσότερα...

Η άσκηση της Ημέρας, Γραφικές παραστάσεις

Το παλαιοπωλείο σας προσφέρει μια σειρά ασκήσεων στις γραφικές παραστάσεις, μιας και οι μαθητές δείχνουν να δυσκολεύονται στη σχεδίαση αλλά και στην ερμηνεία τους. Ξεκινάμε με την πρώτη λοιπόν......

Διάβασε περισσότερα...

Η άσκηση της Ημέρας, Γ' λυκείου γενικής

Την άσκηση αυτή την έφτιαξα για μια επανάληψη στο πρώτο κεφάλαιο των Μαθηματικών και Στοιχείων Στατιστικής της Γενικής παιδείας Γ λυκείου. Μπορεί να δοθεί και ως φύλλο εργασίας στους μαθητές μας ή ακόμα και ως εργασία για το σπίτι.

Διάβασε περισσότερα...

Η άσκηση της Ημέρας, Άλγεβρα Α, Β λυκείου

Ας γενικεύσουμε "λίγο" την άσκηση της Ημέρας της Γ γυμνασίου. Αυτή τη φορά για μαθητές Β λυκείου αλλά όπως έχει διαμορφωθεί η ύλη και για μαθητές Α λυκείου.

Κάθε πλευρά τετραγώνου αυξάνει κατά ένα. Να βρεθεί το εμβαδόν της γραμμοσκιασμένης επιφάνειας όταν τα τετράγωνα είναι 100.

Διάβασε περισσότερα...

Η άσκηση της Ημέρας, Γ γυμνασίου

Αν είναι x+1 η πλευρά του μεγάλου τετραγώνου και x-1 του μικρού, να βρεθεί το εμβαδόν της πράσινης επιφάνειας συναρτήση του x.

 
Ο χώρος αυτός είναι έτοιμος να φιλοξενήσει και τις δικές σας ασκήσεις!

Διάβασε περισσότερα...

Η άσκηση της Ημέρας, Γ λυκείου Κατεύθυνσης

Μια άσκηση με υπονοούμενο.................!!!! για την τρίτη λυκείου και τα μαθηματικά κατεύθυνσης.

Να υπολογιστεί το όριο: $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^{3}-3x+1}{\left( x-1\right)^{2}}} $

Διάβασε περισσότερα...

Η άσκηση της ημέρας, Β γυμνασίου

Ας δώσω και μια άσκηση για την δευτέρα γυμνασίου και τις δυνάμεις.

Να δείξετε ότι:

$\left(777777777\right)^{3}< 64 \times \left( 222222222\right)^{3}$

Διάβασε περισσότερα...

Η άσκηση της Ημέρας, Α γυμνασίου

Παράσταση με το 9.

Να βρεθεί ο αριθμός:                                                                                                                                                                 $\left(99+0\right):9-\left(0+9\right):9+\left(98+1\right):9-(1+8):9+....$

$....+\left(90+9\right):9-\left(9+0\right):9=?$

Ο χώρος αυτός περιμένει να φιλοξενήσει και τις δικές σου ασκήσεις.

Διάβασε περισσότερα...

Η άσκηση της Ημέρας, Άλγεβρα Β λυκείου

Άσκηση της Ημέρας, Άλγεβρα Β λυκείου.

Μια άσκηση που "σκάρωσα" για την άλγεβρα της Β λυκείου. 

A) Δίνονται οι συναρτήσεις $f,g$ με τύπους $g\left(x \right)=e^{x}-x-1$ με $g\left(x \right)\geq 0$ για κάθε $x\varepsilon R$, και $f\left(x \right)=ln\left(e^{x}-x \right)$. 

i) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης $f$ 

ii) Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της $f$ 

iii) Να δείξετε ότι ισχύει $\frac{1}{e^{x^{2}}}\geq 1-x^{2}$ για κάθε $x\epsilon R$ 

iv) Να δείξετε ότι $lnx\leq x-1$ για κάθε $x>0$. Πότε ισχύει η ισότητα;  

B) Δίνεται η συνάρτηση $h$ με τύπο $h\left(x \right)=lnx-x+1$ 

i) Να δείξετε ότι $h\left(\frac{1}{x} \right)+h\left(x \right)=-\frac{\left(x-1 \right)^{2}}{x},x>0$ 

ii) Να λυθεί η εξίσωση $h\left(x \right)=-x+1-ln^{3}x$

Ο χώρος αυτός φιλοξενεί και τις δικές σας εμπνεύσεις. Απλά στείλτε μου την άσκηση σας...

Διάβασε περισσότερα...

Η άσκηση της ημέρας, Άλγεβρα Α λυκείου

Ξεσκονίστε τα μαθηματικά σας. Αρχίζουμε!!!!

Στην ενότητα αυτή θα αναρτώνται ανα τακτά χρονικά διαστήματα ασκήσεις για λύση. Ο χώρος αυτός φιλοξενεί και τις δικές σας εμπνεύσεις. Απλά στείλτε μου την άσκηση σας...

Μία άσκηση που "σκάρωσα" τουλάχιστον για μαθητές Α λυκείου. Έτσι που έχει μεταλλαχθεί η σχολική ύλη.

Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο $f\left(x \right)=1+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^{2}},x\neq 0$.

1) Να λυθεί η εξίσωση $x^{2}*f\left(x \right)-7\left|x+1 \right|=8$

2) Να λυθούν οι εξισώσεις α) $\sqrt{f\left(x \right)}=0$, β) $\sqrt{f\left(x \right)}=1$ και                 γ) $\sqrt{f\left(x \right)}=-1$

3) Να λυθεί η εξίσωση $f\left(x \right)+\frac{1}{f\left(x \right)}=0$

4) Να δείξετε ότι $f\left(\frac{1}{x} \right)=x^{2}\left|f\left(x \right) \right|$ για κάθε $x\neq 0$

5) Να λυθούν οι ανισώσεις α)$f\left(\left|x \right| \right)\geq 0$ και β) $f\left(\left|x \right| \right)\geq 4$

Διάβασε περισσότερα...